Question

如图10-1，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上， ⊙交轴于 两点，交轴于两点，且为的中点，交轴于点，若点的坐标为（－2，0），

(1)(3分)求点的坐标.                          
(2)(3分)连结，求证：∥
(3)(４分) 如图10-2，过点作⊙的切线，交轴于点.动点在⊙的圆周上运动时，的比值是否发生变化，若不变，求出比值；若变化，说明变化规律

Answer 1

（1）（０，４）
（2）证明略
（3）解析:
解（１）方法（一）∵直径ＡＢ⊥ＣＤ
　　　　　　　　∴ＣＯ＝ＣＤ                               　　……1分
＝
　　　　　　　　∵Ｃ为的中点
　　　　　　　　∴＝
　　　　　　　　∴＝
　　　　　　　　∴ＣＤ＝ＡＥ                              　　　　……2分
　　　　　　　　∴ＣＯ＝ＣＤ＝４
　　　　　　　　∴Ｃ点的坐标为（０，４）                   　　　……3分
　　　　　　方法（二）连接ＣＭ，交ＡＥ于点Ｎ
　　　　　　　　∵Ｃ为的中点，Ｍ为圆心
　　　　　　　　∴ＡＮ＝ＡＥ＝４                      ……1分
　　　　　　　　　ＣＭ⊥ＡＥ
　　　　　　　　∴∠ＡＮＭ＝∠ＣＯＭ＝９０°
　　　　　　　　在△ＡＮＭ和△ＣＯＭ中：

∴△ＡＮＭ≌△ＣＯＭ                     ……2分
∴ＣＯ＝ＡＮ＝４
∴Ｃ点的坐标为（０，４）                 ……3分
　　　解（２）设半径ＡＭ＝ＣＭ＝ｒ，则ＯＭ＝ｒ－２
　　　　　　　　由ＯＣ＋ＯＭ＝ＭＣ得：
　　　　　　　　４＋（ｒ－２）＝ｒ
　　　　　　　　解得：ｒ＝５                            ……1分
　　　　　　　　∵∠ＡＯＣ＝∠ＡＮＭ＝９０°
　　　　　　　　　∠ＥＡＭ＝∠ＭＡＥ
　　　　　　　　∴△ＡＯＧ∽△ＡＮＭ
　　　　　　　　∴
∵ＭＮ＝ＯＭ＝３
　　　　　　　　即
　　　　　　　　∴ＯＧ＝　　　　　　　　　　　　　　……２分
　　　　　　　　∵
　　　　　　　　　
　　　　　　　　∴
　　　　　　　　∵∠ＢＯＣ＝∠ＢＯＣ
　　　　　　　　∴△ＧＯＭ∽△ＣＯＢ
　　　　　　　　∴∠ＧＭＯ＝∠ＣＢＯ
　　　　　　　　∴ＭＧ∥ＢＣ　　　　　　　　　　　　　……3分
　　　　　　　　（说明：直接用平行线分线段成比例定理的逆定理不扣分）
解（３）连结ＤＭ，则ＤＭ⊥ＰＤ，ＤＯ⊥ＰＭ
　　　　　　　　∴△ＭＯＤ∽△ＭＤＰ，△ＭＯＤ∽△ＤＯＰ
　　　　　　　　∴ＤＭ＝ＭＯ·ＭＰ；
　　　　　　　　　ＤＯ＝ＯＭ·ＯＰ（说明：直接使用射影定理不扣分）
　　　　　　　　即４＝３·ＯＰ
　　　　　　　　∴ＯＰ＝　　　　　　　　　　　             ……１分
　　　　　　　　当点Ｆ与点Ａ重合时：
　　　　　　　　当点Ｆ与点Ｂ重合时：　　　……２分
　　　　　　　　当点Ｆ不与点Ａ、Ｂ重合时：连接ＯＦ、ＰＦ、ＭＦ
　　　　　　　　∵ＤＭ＝ＭＯ·ＭＰ
　　　　　　　　∴ＦＭ＝ＭＯ·ＭＰ
　　　　　　　　∴
　　　　　　　　∵∠ＡＭＦ＝∠ＦＭＡ
　　　　　　　　∴△ＭＦＯ∽△ＭＰＦ
　　　　　　　　∴　　　　　　　　
　　　　　　　　∴综上所述，的比值不变，比值为                  ……4分