Question

已知关于x的方程.
①求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；
②若等腰△ABC的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC周长。

Answer 1

证明：（1）∵△=b²﹣4ac=（k+2）²﹣8k=（k﹣2）²≥0，

∴无论k取任意实数值，方程总有实数根．

解：（2）分两种情况：

①若b=c，

∵方程x²﹣（k+2）x+2k=0有两个相等的实数根，

∴△=b²﹣4ac=（k﹣2）²=0，

解得k=2，

∴此时方程为x²﹣4x+4=0，解得x₁=x₂=2，

∴△ABC的周长为5；

②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1，

∵把x=1代入方程x²﹣（k+2）x+2k=0，得1﹣（k+2）+2k=0，

解得k=1，

∴此时方程为x²﹣3x+2=0，

解得x₁=1，x₂=2，

∴方程另一根为2，

∵1、1、2不能构成三角形，

∴所求△ABC的周长为5．

综上所述，所求△ABC的周长为5