Question

如图，⊙O的直径为10，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．
（1）求证：AC•CD=PC•BC；
（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥CP，
∴∠PCD=90°，
∴∠ACB=∠PCD，
∵∠A与∠P是对的圆周角，
∴∠A=∠P，
∴△ABC∽△PDC，
∴，
∴AC•CD=PC•BC；

（2）解：当点P运动到的中点时，过点B作BE⊥PC于E，
∵BC：CA=4：3，AB=10，
∴BC=8，AC=6，
∵点P是的中点，
∴∠PCB=∠ACB=45°，
∴BE=CE=BC•sin45°=8×=4，
在Rt△EPB中，tan∠P=tan∠A===，
∴PE=BE=3，
∴PC=PE+CE=7，
∴CD=PC•tan∠P=×7=．
分析：（1）由AB是⊙O的直径，CD⊥CP，可得∠ACB=∠PCD=90°，又由∠A与∠P是对的圆周角，由圆周角定理，可得∠A=∠P，即可判定△ABC∽△PDC，又由相似三角形的对应边成比例，求得答案；
（2）首先过点B作BE⊥PC于E，由点P是的中点，可得∠PCB=∠ACB=45°，然后利用三角函数的性质，求得BE，CE的长，继而求得PE，CD的长．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理以及锐角三角函数的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与转化思想的应用．