Question

如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，
（1）求证：BE⊥EF；
（2）若AB=6，AE=9，DE=2，求sin∠EBF的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,矩形的性质

专题：

分析：（1）证明∠AEB=∠DFE；证明∠AEB+∠DEF=90°，得到∠BEF=90°，即可解决问题．
（2）求出DF的长度；求出EF、BF的长度，即可解决问题．

解答：（1）证明：∵△ABE∽△DEF，
∴∠AEB=∠DFE；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∴∠DEF+∠DFE=90°，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
∴∠BEF=90°，
即BE⊥EF．
（2）解：∵AB=6，AE=9，DE=2，
∴DC=AB=6，BC=AD=AE+DE=11；
∵△ABE∽△DEF，
∴AB：DE=AE：DF，
∴DF=3，CF=6-3=3；
由勾股定理得：EF²=2²+3²，BF²=11²+3²，
∴EF=

13

，BF=

130

，
∴sin∠EBF=

EF

BF

=

10

10

，
即sin∠EBF的值为

10

10

．

点评：该题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点的应用问题；应牢固掌握矩形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点，这是灵活运用的基础．