Question

已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB，AC相交于D点，双曲线y=

k

x

（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB•AC=160，有下列四个结论：
①菱形OABC的面积为80；②E点的坐标是（4，8）；③双曲线的解析式为y=

20

x

（x＞0）；④sin∠COA=

4

5

．
其中正确的结论有（　　）个．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：作DH⊥x轴于H，BG⊥x轴于G，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得到菱形OABC的面积=

1

2

OB•AC=

1

2

×160=80；则△ODA的面积为20，根据三角形面积公式可计算出DA=4，再根据菱形的性质易得DH为△OBG的中位线，则BG=8，所以E点的纵坐标为8；接着证明Rt△DOH∽Rt△ADH，得到DH²=OH•AH，
由于DH=4，AH=10-OH，则OH（10-OH）=16，解得OH=8或OH=2（舍去），可确定D点坐标为（8，4），利用待定系数法得到反比例函数解析式为y=

32

x

；同时可确定E点坐标为（4，8）；CM⊥x轴于M，则CM=8，根据菱形性质得OC=OA=10，根据勾股定理可计算出OM=6，然后利用正弦的定义即可得到sin∠COM=

CM

OC

=

4

5

，于是有sin∠COA=

4

5

．

解答：解：作DH⊥x轴于H，BG⊥x轴于G，如图，
∵四边形OABC为菱形，
∴菱形OABC的面积=

1

2

OB•AC=

1

2

×160=80，所以①正确；
∴

1

2

DH•OA=菱形OABC的面积的

1

4

=

1

4

×80，
而A点的坐标为（10，0），
∴

1

2

DH×10=

1

4

×80，
∴DH=4，
∵OB与AC互相垂直平分，
∴∠AOD=90°，DH为△OBG的中位线，
∴BG=2DH=8，
∴E点的纵坐标为8，
∵∠DOH+∠ODH=∠ODH+∠ADH=90°，
∴∠DOH=∠ADH，
∴Rt△DOH∽Rt△ADH，
∴DH：AH=OH：DH，即DH²=OH•AH，
∵DH=4，AH=OA-OH=10-OH，
∴OH（10-OH）=16，解得OH=8或OH=2（舍去），
∴D点坐标为（8，4），
把D（8，4）代入y=

k

x

得k=4×8=32，
∴反比例函数解析式为y=

32

x

，所以③错误；
把y=8代入得

32

x

=8，解得x=4，
∴E点坐标为（4，8），所以②正确；
CM⊥x轴于M，如图，
∴CM=BG=8，
∵四边形OABC为菱形，
∴OC=OA=10，
在Rt△OCM中，CM=8，OC=10，
∴OM=

OC2-CM2

=6，
∴sin∠COM=

CM

OC

=

8

10

=

4

5

，
即sin∠COA=

4

5

，所以④正确．
故选C．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数图象的点的坐标满足其函数解析式；熟练运用菱形的性质、相似三角形的相似比和勾股定理进行计算．