Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN，垂足为D，BE⊥MN，垂足为E
（1）如图，求证：DE=AD+BE；
（2）保持上述条件不变，若直线MN绕点C进行旋转，使MN经过△ABC的内部，则DE，AD，BE具有怎样的等量关系？请画出草图并说明理由．

Answer 1

解：（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，DE=AD+BE；
证明：∵∠ACB=90°，∠ADC=90°，∠BEC=90°
∴∠ACD+∠DAC=90°，∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC与△BEC中，
，
△ADC≌△BEC（AAS），
∴AD=CE，BE=CD，
∵DE=CE+CD，
∴DE=AD+BE；

（2）若MN绕C点继续旋转时，
当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，
同理：AD=CE，BE=CD
∵CE=ED+CD
∴AD=ED+BE，即ED=AD-BE；
当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，
同理：AD=CE，BE=CD
∵CE=CD-ED
∴AD=BE-ED，即ED=BE-AD；
当直线MN绕点C旋转垂直于AB时，AD=BE-DE=0，
综合以上得：ED=|AD-BE|．
分析：（1）证明△ADC≌△BEC（AAS）即可，已知已有两直角相等和AC=BC，再由同角的余角相等证明∠DAC=∠BCE即可；
（2）首先画出草图，考虑到三种情况：当直线MN绕点C旋转到图2的位置时；当直线MN绕点C旋转到图3的位置时；当直线MN绕点C旋转垂直于AB时．同样由三角形全等寻找边的关系，根据位置寻找和差的关系．
点评：此题考查三角形全等的判定和性质，注意考虑问题要全面．