Question

定义：a是不为1的有理数，我们把

1

1-a

称为a的差倒数．
如：2的差倒数是

1

1-2

=-1，-1的差倒数是

1

1-(-1)

=

1

2

．
已知a1=-

1

3

，
（1）a₂是a₁的差倒数，则a₂=

 

；
（2）a₃是a₂的差倒数，则a₃=

 

；
（3）a₄是a₃的差倒数，则a₄=

 

，…，依此类推，则a₂₀₀₉=

 

．

Answer 1

分析：理解差倒数的概念，要根据定义去做．通过计算，寻找差倒数出现的规律，首先根据定义计算前几个数，直到计算到循环时，根据几个一循环，即可得到结果．

解答：解：根据差倒数定义：
（1）由已知得：a₂=

1

1-(- 1 3 )

=

3

4

，
故答案为：

3

4

；      （
（2）所以a₃=

1

1- 3 4

=4，
故答案为：4，
（3）所以a₄=

1

1-4

=-

1

3

； 
 由以上可知每三个循环一次，又2009÷3=669余2，故a₂₀₀₉和a₂的值相等．
所以a₂₀₀₉=a₂=

3

4

，
故答案为：-

1

3

，

3

4

．

点评：本题考查了差倒数的规律，此类题型要严格根据定义做，这也是近几年出现的新类型题之一，同时注意分析循环的规律．