Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在圆上且AD=DC，∠CAB=30°．
（Ⅰ）求证：DC∥AB；
（Ⅱ）若，求线段AD的长度．

Answer 1

（I）证明：连接BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°．
∴．
∵AD=DC，
∴．
∴．BC=AD
∴∠CAB=∠ACD=30°
∴DC∥AB

（Ⅱ）解：在Rt△ABC中，
∵且BC=AC•tan∠CAB．
∴．
∴AD=2．
分析：（I）连接BC，由AB为直径，得∠ACB=90°，再根据∠CAB求得∠ABC．则，得出∠CAB=∠ACD，即可得出DC∥AB
（Ⅱ）在Rt△ABC中，由三角函数可求得BC，从而得出AD．
点评：本题考查了圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系，以及解直角三角形．