Question

如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD=BC，翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF．连接CE、CF、BD，AC、BD 的交点为点O，AC、EF的交点为点G．如果CE⊥AB，AB=7，CD=3．下列结论中，正确的序号是

①②⑤

．
①EF⊥AC； ②BD∥EF；③连接FO，则FO∥AB；④S_{四边形AECF}=AC•EF；⑤EF=

25 2

7

．

Answer 1

分析：根据轴对称的性质，等腰梯形的特点和对角线互相垂直的四边形的面积=对角线积的一半的知识来判断．

解答：解：①∵翻折纸片ABCD，点A与点C重合，折痕为EF，
∴EF⊥AC，故此选项正确；
②∵CE⊥AB，翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，
∴∠AEF=45°，
∵EF⊥AC，
∴∠CAB=45°，
易证△ADB≌△BCA（SAS），
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∴∠OBA=∠AEF=45°，
∴BD∥EF，故此选项正确；
④∵AC⊥EF，
∴S_{四边形AECF}=

1

2

×AC•EF，故此选项错误；
⑤易得BE=（7-3）÷2=2，CE=AE=7-2=5，
作FM⊥AB于点M，则CE：BE=FM：AM，
∵∠AEF=45°，
∴设FM=ME=x，
∴AM=5-x，
∴

5

2

=

x

5-x

，
解得：x=

25

7

，
∴EF=

2

FM=

25 2

7

，故此选项正确；
③∵∠OAB=∠OBA=∠GEA=45°，∠AGE=∠AOB=90°，AB=7，AE=5，
∴AO=

7 2

2

，AG=

5 2

2

，
∴OG=OA-AG=

2

，FG=EF-GE=EF-AG=

25 2

7

-

5 2

2

=

15 2

14

，
∴OG≠FG，
∴∠FOG≠45°=∠EAG，
∴FO与AB不平行，故此选项错误．
正确的序号是①②⑤．
故答案①②⑤．

点评：此题主要考查了轴对称的性质，等腰梯形的性质，注意使用等腰梯形中的三角形全等，以及常用的辅助线方法，对角线互相垂直的四边形的面积=对角线积的一半等知识．