Question

设p是给定的质数，将所有不超过p的质数分为两组，a，b，c，…，k，α，β，…，γ，已知x满足x=abc…k-αβ…γ，1＜x＜p²．求证：x为质数．

Answer 1

分析：根据质数是除了1和它本身再没有别的约数，1既不是质数，也不是合数，可判定质数，再根据p是给定的质数，可设p是特定的质数11，可证明x为质数．

解答：证明：设p是11，①将所有不超过11的质数分为两组：3，7；2，5，
∵x=abc…k-αβ…γ，
即x=3×7-2×5
x=11，
∴x为质数；
②将所有不超过11的质数分为两组：5，7；2，3，
∵x=abc…k-αβ…γ，
即x=5×7-2×3
x=29，
∴x为质数；
③将所有不超过11的质数分为两组：3，5；2，7，
∵x=abc…k-αβ…γ，
即x=3×5-2×7
x=1，
又∵1＜x＜p²，
∴将所有不超过11的质数分为两组：3，5；2，7不符合题意；
④将所有不超过11的质数分为两组2，5；3，7，不符合题意；
⑤将所有不超过11的质数分为两组2，3；5，7不符合题意；
⑥将所有不超过11的质数分为两组2，7；3，5不符合题意；
综上所述，x=11，x=29，
∴x为质数．

点评：本题考查了质数，设P是特定值11是解题关键，注意证明时要分 情况讨论．