题目内容

设有n个数据：x₁，x₂，…，x_n，其方差是S²．求证：函数y=（x-x₁）²+（x-x₂）²+…+（x-x_n）²的最小值是nS²．

证明：∵y=nx²-2（x₁+x₂+…+x_n）x+x₁²+x₂²+…+x_n²
∴当x= $\text{[math]}$ 时，y有最小值，
∴ $\text{[math]}$ =nS²
分析：根据方差的意义知，当x= $\text{[math]}$ 时，y有最小值，即可证明．
点评：本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x₁，x₂，…x_n的平均数为 $\text{[math]}$ ，则方差S²= $\text{[math]}$ [（x₁- $\text{[math]}$ ）²+（x₂- $\text{[math]}$ ）²+…+（x_n- $\text{[math]}$ ）²]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．