Question

已知抛物线y=-

3

4

x²-x+m与x轴有两个不同的交点A、B，抛物线的顶点为C．求是否存在实数m，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：令y=0，得到关于x的一元二次方程，求出两根之和与两根之积表达式，然后求出AB的距离，求出函数的顶点坐标，利用等腰直角三角形的性质，令顶点纵坐标的绝对值等于AB的一半即可得到关于m的方程．若能求出m的值，则m的值存在，否则不存在．

解答：解：设A、B的坐标为（x₁，0），（x₂，0），
由-

3

4

x²-x+m=0，有x₁+x₂=-

4

3

，x₁•x₂=-

4

3

m，
∴|AB|=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

16 9 + 16m 3

=

4

3

1+3m

，
又∵-

b

2a

=-

-1

2×(- 3 4 )

=-

2

3

，

4ac-b2

4a

=

3m+1

3

，
∴顶点C的坐标为（-

2

3

，

3m+1

3

），
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴|

3m+1

3

|=

1

2

|AB|=

2

3

3m+1

，
∴m=1．

点评：本题考查了二次函数综合题，涉及函数与方程的关系、等腰直角三角形的性质、二次函数的最值等，要综合分析，认真解答．