Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠ACD=120°，BD=10．
（1）求证：CA=CD；
（2）求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）可通过证明角相等来证边相等．连接OC，则OC⊥CD，那么∠ACO=30°；根据等边对等角我们不难得出∠A=30°，∠COD=60°，直角三角形OCD中，∠COD=60°，因此∠A=∠D=30°，由此便可得出CA=CD．
（2）在直角三角形OCD中，可用半径表示出OC，OD，有∠D的度数，可用正弦函数求出半径的长．

解答：（1）证明：连接OC．
∵DC切⊙O于点C，
∴∠OCD=90°．
又∵∠ACD=120°，
∴∠ACO=∠ACD-∠OCD=120°-90°=30°．
∵OC=OA，
∴∠A=∠ACO=30°，
∴∠COD=60°．
∴∠D=30°，
∴CA=DC．

（2）解：∵sin∠D=

OC

OD

=

OC

OB+BD

=

OB

OB+BD

，
sin∠D=sin30°=

1

2

，
∴

OB

OB+10

=

1

2

．
解得OB=10．
即⊙O的半径为10．

点评：本题主要考查了解直角三角形的应用和切线的性质．