Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为8，点E在边AD上，点F在CD上，DF＝，tan∠DEF＝．

（1）求AE的长；

（2）求证：BE⊥EF

Answer 1

【答案】（1）AE＝6；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由题意可求DE的长，即可求AE的长；

（2）由题意可得，且∠A=∠D=90°，可证△ABE∽△DEF，可得∠DFE=∠AEB，由直角三角形的性质可得∠AEB+∠DEF=90°，即可得BE⊥EF．

（1）∵四边形ABCD是正方形

∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝8，

∵tan∠DEF＝，且DF＝，

∴DE＝2

∴AE＝AD﹣DE＝8﹣2＝6

（2）∵，，

∴，且∠A＝∠D＝90°

∴△ABE∽△DEF

∴∠DFE＝∠AEB，且∠DFE+∠DEF＝90°

∴∠AEB+∠DEF＝90°

∴∠BEF＝90°

∴BE⊥EF