题目内容

在如图所示的网格中，已知A（2，4），B（4，2），点C是第一象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形．
（1）填空：C点的坐标是．△ABC的面积是；
（2）将△ABC绕C旋转180°得到△A₁B₁C₁，连接AB₁，得四边形AB₁A₁B，则点A₁的坐标是；四边形AB₁A₁B面积是；并画出旋转后的图形．

解：（1）如图，C点的坐标是（1，1），
△ABC的面积=3×3- $\text{[math]}$ ×1×3- $\text{[math]}$ ×1×3- $\text{[math]}$ ×2×2，
=9- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ -2，
=9-3-2，
=4；

（2）△A₁B₁C₁如图所示，点A₁（0，-2），
∵CA=CB=CA₁=CB₁，
∴四边形AB₁A₁B是矩形，
根据勾股定理，AB= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
AB₁= $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ ，
四边形AB₁A₁B面积=2 $\text{[math]}$ ×4 $\text{[math]}$ =16．
故答案为：（1）（1，1）；4；（2）（0，-2）；16．
分析：（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得点C在AB的垂直平分线上，再根据腰长是无理数确定出点C的坐标即可，利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式计算即可得解；
（2）根据网格结构找出点A₁、B₁、C₁的位置，然后顺次连接，再根据平面直角坐标系写出点A₁的坐标，根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形判断出四边形AB₁A₁B是矩形，再根据勾股定理列式求出AB、AB₁的长，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
点评：本题考查了利用旋转变换作图，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．