Question

如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD=BC．翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF．连接CE、CF、BD，AC、BD的交点为O，若CE⊥AB，AB=7，CD=3．下列结论中：①AC=BD；②EF∥BD；③S_{四边形AECF}=AC•EF；④EF=

25 2

7

；⑤连接FO，则FO∥AB．
正确的序号是（　　）

A．①②④

B．①③④

C．②③⑤

D．①②③④⑤

Answer 1

分析：根据等腰梯形的特点和对角线互相垂直的四边形的面积=对角线积的一半的知识来判断．

解答：解：①∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴∠DAB=∠CBA，
在△ADB和△BCA中，
∵

AD=BC ∠DAB=∠CBA AB=AB

，
∴△ADB≌△BCA（SAS），
∴AC=DB，故此选项正确；
②∵CE⊥AB，翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，
∴∠AEF=45°，EF⊥AC，
∴∠CAB=45°，由△ADB≌△BCA得到∠OBA=∠OAB=45°，
∴∠OBA=∠AEF=45°那么EF∥BD，故此选项正确；
③∵AC⊥EF，
∴S_{四边形AECF}=

1

2

×AC•EF，故此选项错误；
④易得BE=（7-3）÷2=2，CE=AE=7-2=5，作FM⊥AB于点M，
故CE：BE=FM：AM，
∵∠AEF=45°，
∴设FM=ME=x，
∴AM=5-x，
∴

5

2

=

x

5-x

，
解得：x=

25

7

，
那么EF=

25 2

7

，故此选项正确；
⑤∵∠OAB=∠OBA=∠GEA=45°，∠AGE=∠AOB=90°，
AB=7，AE=5，
∴AO=

7 2

2

，AG=

5

2

=

5 2

2

，
∴OG=OA-AG=

7 2

2

-

5 2

2

=

2

，
FG=EF-GE=EF-AG=

25 2

7

-

5 2

2

，
易得OG≠FG，那么∠FOG≠45°，故此选项错误．
正确的序号是①②④．
故选：A．

点评：此题主要考查了等腰梯形的性质，注意使用等腰梯形中的三角形全等，以及常用的辅助线方法，对角线互相垂直的四边形的面积=对角线积的一半等知识．