Question

如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，∠A=45°，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点E，，连接CD．
（1）试求BC的长及圆心O到弦BC的距离；
（2）求出∠AEB的度数．

Answer 1

解：（1）过点O作OF⊥BC于点F
∵BD为⊙O的直径
∴BC⊥DC
∵∠A=∠BDC=45°
∴△BCD为等腰直角三角形
∵BD=
∴BC=CD=×=2，OF=CD=1
∴BC=2，圆心O到弦BC的距离为1；

（2）∵∠A=45°，AB=AC
∴∠ACB=（180°-45°）=67.5°
∵∠DBC=45°
∴∠AEB=∠DBC+∠ACB=112.5°
∴∠AEB=112.5°．
分析：（1）作辅助线，过点O作OF⊥BC于点F，由BD是⊙O的直径，可知BC⊥DC，由圆周角定理得∠A=∠BDC=45°，故△ACD为等腰直角三角形，已知BD=，可求CD=BC=2，OF=CD；
（2）已知∠A的度数，AB=AC，可求出∠ACB的值，由（1）知∠DBC的值，代入∠AEB=∠DBC+∠ACB，进行求解即可．
点评：本题主要考查圆周角定理的应用，关键是知△BCD为等腰直角三角形．