Question

如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径．点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.

(1)求证：CD为⊙O的切线；
(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度．

Answer 1

（1）通过角度的转化和逆运算求证（2）6

解析试题分析：、(1)证明：连接OC， ……… 1分
∵点C在⊙O上，OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC. ……… 1分
∵CD⊥PA，∴∠CDA＝90°，
∴∠CAD＋∠DCA＝90°.
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC＝∠CAO.
∴∠DCO＝∠DCA＋∠ACO＝∠DCA＋∠CAO＝∠DCA＋∠DAC＝90°.   ……… 1分
又∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线．                ……… 1分
(2)解：过O作OF⊥AB，垂足为F，   ……… 1分
∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，
∴四边形OCDF为矩形，          
∴OC＝FD，OF＝CD.
∵DC＋DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6－x.
∵⊙O的直径为10，∴DF＝OC＝5，
∴AF＝5－x.                  ……… 1分
在Rt△AOF中，由勾股定理得
AF²＋OF²＝OA².
即(5－x)²＋(6－x)²＝25，
化简得：x²－11x＋18＝0，
解得x＝2或x＝9.
由AD<DF，知0<x<5，故x＝2.   ……… 1分
∴AD＝2, AF＝5－2＝3.
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB＝2AF＝6.      
考点：二次函数的综合题
点评：在解题时要能灵运用二次函数的图象和性质求出二次函数的解析式，利用数形结合思想解题是本题的关键