Question

如图，四边形ABCD是直角梯形，AB=7，BC=11，AD=4，AA′=DD′=2，BB′=CC′=3，则阴影部分的面积为

 

（答案用π表示）．

Answer 1

分析：从图中观察，阴影部分的面积等于梯形的面积减去四个扇形的面积．梯形的面积只需通过梯形面积公式求得，扇形A'E、B
'G是所对的圆心角是90°．而要求扇形ED'与C'F需要知道∠C或∠D的度数，故过D点作DK⊥BC于点K，先判定△DKC为等腰直角三角形，进而得到∠C或∠D的度数．至此问题解决．

解答：
解：过D点作DK⊥BC于点K，则BK=AD=4，KC=BC-AD=11-4=7
又∵AB=7，
∴AB=KC，
∴△DKC为等腰直角三角形，
∴∠C=45°，∠D=135°，
则 S_扇形EA'+S_扇形ED'=π×2²×

90+135

360

=

5

2

π，
S_扇形B'G+S_扇形C'F=π×2²×

90+45

360

=

27

8

π，
S_阴影=

1

2

(4+11)×7-(

5

2

π+

27

8

π)=

105

2

-

47

8

π，
故答案为

105

2

-

47

8

π．

点评：本题考查梯形面积的计算、扇形的面积计算．解决本题的关键是通过添加辅助线DK，构建等腰直角三角形，求得∠B、∠C的度数，进而求得扇形ED'与C'F的面积．