Question

如图，正方形ABCD的边长是3，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF．
（1）如图?，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；
（2）如图?，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；
（3）在（2）的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由正方形的性质可以得出AB=BC，∠ABP=∠ABC=∠90°，可以得出△PBA≌△FBC，由其性质就可以得出结论；
（2）由正方形的性质可以得出AB=BC，∠FBC=∠ABC=∠90°，可以得出△PBA≌△FBC，由其性质就可以得出结论；
（3）设BP=x，则PC=3-x  平行四边形PEFC的面积为S，由平行四边形的面积公式就可以求出其解析式，再根据二次函数的性质就可以求出其最大值．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠PBA=90°
∵在△PBA和△FBC中，
，
∴△PBA≌△FBC（SAS），
∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．   
∵PA=PE，
∴PE=FC．        
∵∠PAB+∠APB=90°，
∴∠FCB+∠APB=90°．                                
∵∠EPA=90°，
∴∠APB+∠EPA+∠FCP=180°，
即∠EPC+∠PCF=180°，
∴EP∥FC，
∴四边形EPCF是平行四边形；

（2）结论：四边形EPCF是平行四边形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠CBF=90°    
∵在△PBA和△FBC中，
 ，
∴△PBA≌△FBC（SAS），
∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．                                     
∵PA=PE，
∴PE=FC．               
∵∠FCB+∠BFC=90°，
∠EPB+∠APB=90°，
∴∠BPE=∠FCB，
∴EP∥FC，
∴四边形EPCF是平行四边形；

（3）设BP=x，则PC=3-x  平行四边形PEFC的面积为S，
 S=PC•BF=PC•PB=（3-x）x
=-（x-）²+．
∵a=-1＜0，
∴抛物线的开口向下，
∴当x= 时，S最大=，
∴当BP= 时，四边形PCFE的面积最大，最大值为．
点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，平行四边形的面积公式的运用，二次函数的性质的运用，解答时灵活运用平行四边形的判定方法是关键．