Question

【题目】一边长为4正方形放在平面直角坐标系中，其中为原点，点、分别在轴、轴上，为射线上任意一点

（1）如图1，若点坐标为，连接交于点，则的面积为__________；

（2）如图2，将沿翻折得，若点在直线图象上，求出点坐标；

（3）如图3，将沿翻折得，和射线交于点，连接，若，平面内是否存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有点坐标：若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）E（，）；（3）Q（，），Q'（，），Q'（0，），Q''（8，）

【解析】

（1）由待定系数法可求直线OC，直线AD的解析式，再求出交点E的坐标，由三角形面积公式可求解；

（2）如图2，过点E作EH⊥OA，由折叠的性质可得AO＝AE＝4，设点E（a，a），求出AH，再由勾股定理列方程求出a的值即可；

（3）由折叠的性质可得∠DAO＝∠DAE＝75°，OA＝AE，∠DOA＝∠DEA＝90°，由“HL”可证Rt△AEF≌Rt△ACF，可得∠CAF＝∠EAF＝30°，然后求出CF＝，再分两种情况讨论，由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质求解即可．

解：（1）∵边长为4的正方形OACB放在平面直角坐标系中，

∴点A（4，0），点C（4，4），点D（0，2），

∴直线OC解析式为：y＝x，

设直线AD解析式为：y＝kx＋b，

则，解得：，

∴直线AD解析式为：y＝x＋2，

联立，解得：，

∴点E坐标（，），

∴△AOE的面积＝×4×＝，

故答案为：；

（2）如图2，过点E作EH⊥OA，

∵将△AOD沿AD翻折得△AED，

∴AO＝AE＝4，

设点E（a，a），

∴OH＝a，EH＝a，

∴AH＝4a，

∵AE2＝EH2＋AH2，

∴16＝a2＋（4a）2，

∴a＝0（舍去）或a＝，

∴点E（，）；

（3）∵将△AOD沿AD翻折得△AED，

∴∠DAO＝∠DAE＝75°，OA＝AE，∠DOA＝∠DEA＝90°，

∴∠OAE＝150°，AE＝AC，∠ACF＝∠AED＝90°，

∴∠CAE＝60°，

∵AE＝AC，AF＝AF，

∴Rt△AEF≌Rt△ACF（HL），

∴∠CAF＝∠EAF＝30°，

∴AF＝2CF，

∴AF2＝AC2+CF2，即4CF2＝16+CF2，

∴CF＝（负值舍去），

∵△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形，

∴当∠AFQ＝90°，AF＝FQ时，如图3，过点Q作QN⊥BF于点N，

∴∠NQF＋∠QFN＝90°，且∠QFN＋∠AFC＝90°，

∴∠NQF＝∠AFC，且∠ACF＝∠QNF＝90°，QF＝AF，

∴△QNF≌△FCA（AAS），

∴QN＝CF＝，AC＝NF＝4，

∴Q（，），

同理可求：Q'（，）；

当∠FAQ＝90°，AF＝AQ时，

同理可求，Q'（0，），Q''（8，）.