Question

已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB = AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系。 小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连结E'D，使问题得到解决。请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明。

Answer 1

解：（1） DE2=BD2+EC2  证明：根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE' ∴ △AEC≌△ABE'  ∴ BE'=EC，A E'=AE ∠C=∠AB E' , ∠EAC=∠E'AB 在Rt△ABC中 ∵ AB=AC  ∴ ∠ABC=∠ACB=45° ∴ ∠ABC+∠AB E'=90° 即 ∠E'BD=90° ∴ E'B2+BD2= E'D2 又∵ ∠DAE=45° ∴ ∠BAD+∠EAC=45° ∴ ∠E'AB+∠BAD=45° 即 ∠E'AD=45° ∴ △A E'D≌△AED ∴ DE=DE'   ∴ DE2=BD2+EC2 （2）关系式DE2=BD2+EC2仍然成立 证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE   ∴ △AFD≌△ABD  ∴AF=AB， FD=DB  ∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD 又∵AB=AC，∴AF=AC ∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45° ∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-(∠DAE-∠DAB)= 45°+∠DAB ∴ ∠FAE=∠EAC 又∵ AE=AE    ∴△AFE≌△ACE    ∴ FE=EC ，∠AFE=∠ACE=45° ∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135° ∴ ∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90° ∴在Rt△DFE中 DF2+FE2=DE2   即DE2=BD2+EC2