Question

在△ABC中．
（1）如图1，∠BAC和∠ACB的平分线交于点I，∠BAC=50°，∠ACB=70°，求∠AIC的度数；
（2）如图2，∠BAC外角平分线的反向延长线与∠ACB的角平分线交于点O，则∠O和∠B有什么数量关系？并说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）首先根据角的平分线性质算出∠IAC和∠ICA的度数，再利用三角形内角和为180°，可求出∠AIC的度数；
（2）首先根据角的平分线性质可得∠ACO=

1

2

∠ACB，∠DAC=

1

2

∠EAC，再根据三角形内角与外角的关系可得∠O+∠ACO=∠DAC=

1

2

∠EAC，然后两边同时乘以2可得2∠O+∠ACB=∠EAC，
再由∠B+∠ACB=∠EAC即可得到∠B=2∠O．

解答：解：（1）∵AI平分∠BAC，
∴∠IAC=

1

2

∠BAC，
∵CI平分∠BCA，
∴∠ICA=

1

2

∠BCA，
∵∠BAC=50°，∠ACB=70°，
∴∠IAC=25°，∠ICA=35°，
∴∠AIC=180°-25°-35°=120°；

（2）数量关系：∠B=2∠O；
∵CO平分∠ACB，
∴∠ACO=

1

2

∠ACB，
∵AD平分∠EAC，
∴∠DAC=

1

2

∠EAC，
∵∠O+∠ACO=∠DAC=

1

2

∠EAC，
∴2∠O+∠ACB=∠EAC，
∵∠B+∠ACB=∠EAC，
∴∠B=2∠O．

点评：此题主要考查了角平分线的性质，三角形内角与外角的关系，三角形内角和定理，关键是根据角平分线的性质得到角之间的关系．