Question

如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，试猜想EF与AD之间有什么关系？并证明你的猜想．

Answer 1

分析：根据角平分线性质得出DE=DF，推出D在EF的垂直平分线上，∠DEF=∠DFE，求出∠AEF=∠AFE，推出AE=AF，得出A在EF的垂直平分线上，根据两点确定一条直线得出即可．

解答：AD⊥EF，AD平分EF，
证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA=∠DFA=90°，
∴∠DEA-∠DEF=∠DFA-∠DFE，
即∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴A在EF的垂直平分线上，
∵DE=DF，
∴D在EF的垂直平分线上，
即AD是EF的垂直平分线，
∴AD⊥EF，AD平分EF．

点评：本题考查了线段垂直平分线，角平分线性质，等腰三角形的性质和判定，两点确定一条直线等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．