Question

选做题：如图，已知直线l₁∥l₂，直线l₃和直线l₁、l₂交于点C和D，在C、D之间有一点P，如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化．若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？

Answer 1

考点：

平行线的性质．

专题：

探究型．

分析：

当P点在C、D之间运动时，首先过点P作PE∥l₁，由l₁∥l₂，可得PE∥l₂∥l₁，根据两直线平行，内错角相等，即可求得：∠APB=∠PAC+∠PBD．

当点P在C、D两点的外侧运动时，由直线l₁∥l₂，根据两直线平行，同位角相等与三角形外角的性质，即可求得：∠PBD=∠PAC+∠APB．

解答：

解：如图①，当P点在C、D之间运动时，∠APB=∠PAC+∠PBD．

理由如下：

过点P作PE∥l₁，

∵l₁∥l₂，

∴PE∥l₂∥l₁，

∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，

∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；

如图②，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l₁上方时，∠PBD=∠PAC+∠APB．

理由如下：

∵l₁∥l₂，

∴∠PEC=∠PBD，

∵∠PEC=∠PAC+∠APB，

∴∠PBD=∠PAC+∠APB．

如图③，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l₂下方时，∠PAC=∠PBD+∠APB．

理由如下：

∵l₁∥l₂，

∴∠PED=∠PAC，

∵∠PED=∠PBD+∠APB，

∴∠PAC=∠PBD+∠APB．

点评：

本题主要考查平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度适中，解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等与两直线平行，同位角相等，注意辅助线的作法．