Question

已知点A（1，3）、B（5，-2），在x轴上找一点P，使（1）AP+BP最小；（2）|AP-BP|最小；（3）|AP-BP|最大．

Answer 1

分析：（1）连接AB，则AB与x轴的交点P即为所求的点，用待定系数法求出AB所在直线的解析式，再根据x轴上点的坐标特点求出P点坐标即可；
（2）因为|AP-BP|≥0，所以当AP=BP时|AP-BP|最小，即点P在线段A′B的垂直平分线上，设出P点坐标，利用两点间的距离公式即可求解；
（3）因为当P点在直线A′B与X轴的交点时，取等号这时绝对值（AP-BP）最大，等于A′B，所以用待定系数法求出过A′、B两点的直线解析式，再把所设P点坐标代入求解即可．

解答：解：（1）如图所示，
连接AB，则直线AB交x轴于点P，设P（x，0），过AB两点的直线为y=kx+b（k≠0），
则

3=k+b -2=5k+b

，解得k=-

5

4

，b=

17

4

，
故过A、B两点的一次函数的解析式为y=-

5

4

x+

17

4

，
把点P（x，0）代入一次函数的解析式得-

5

4

x+

17

4

=0，解得x=

17

5

，
故P点坐标为（

17

5

，0）；

（2）因为|AP-BP|≥0，所以当AP=BP时|AP-BP|最小，
故点P在线段AB的垂直平分线上，作线段AB的垂直平分线交x轴于点P，则点P即为所求，
设P（x，0），则
PA′=PB，即

(1-x)2+(-3)2

=

(x-5)2+(-2)2

，解得x=

19

8

，故点P的坐标为（

19

8

，0）；

（3）作A关于X轴的对称点A₁（也可以作B关于x轴的对称点B1，道理一样），这样AP始终等于A′P的，点A′，P，B构成三角形，所以0＜绝对值（AP-BP）＜A′B，其实右边可以去等号，也就是当P点在直线A′B与X轴的交点时，取等号这时绝对值（AP-BP）最大，等于A′B，
设P（x，0），过A′B两点的直线为y=kx+b（k≠0），
故

-2=5k+b -3=k+b

，解得k=

1

4

，b=-

13

4

，
故过A′B的一次函数解析式为y=

1

4

x-

13

4

，
把P（x，0）代入得，

1

4

x-

13

4

=0，解得x=13，
故P点坐标为（13，0）．

点评：本题考查的是最短线路问题及用待定系数法求一次函数的解析式，是一道综合性题目．