题目内容
如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，BC∥AO，顶点O在坐标原点，顶点A（4，0），顶点B（1，4），动点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA的方向向A运动，同时，动点Q从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C的方向向C运动．当其中一个点到达终点时，另一个也随之停止．设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，PB与AQ互相平分？
（2）设△PAQ的面积为S，求S与t的函数关系式．当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以PQ为直径的圆与y轴相切？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）根据已知得出0≤t≤3，过B作BD⊥OA于D，得出矩形OCBD，求出OA=OC=BD=4，BC=1，AD=3，AB=5，根据PB与AQ互相平分得出Q在BC上，根据平行四边形的性质和判定得出4-t=2t-5，求出即可；
（2）①当0≤t＜
时，点Q在线段AB上运动，OP=t．AQ=2t，过Q作QH⊥OA于H，求出QH=QA•sin∠OAB=
t，求出S=-
（t-2）2+
，求出当t=2时，S有最大值是
；②当
≤≤3时，求出S=
•（4-t）•4=8-2t，求出当t=
时，S有最大值是3，即可得出答案；
（3）①当0≤t＜
时，点Q在线段AB上运动，求出P的坐标、Q的坐标，求出PQ2=（4-
t-t）2+（
t）2，求出PQ的中点的横坐标是2-
，得出方程2-
=
PQ，代入求出即可；
②当
≤t≤3时，得出方程（3-
）2=
（9t2-36t+52），求出即可．
解答：解：（1）
由题意得：0≤t≤3，
过B作BD⊥OA于D，
则四边形OCBD是矩形，
∵A（4，0），B（1，4），
∴OA=OC=BD=4，BC=1，AD=4-1=3，
∴AB=
=5，
若PB与AQ互相平分，则Q在BC上，四边形PABQ是平行四边形，
∴PA=QB，
即4-t=2t-5，
∴t=3；
（2）①当0≤t＜
时，点Q在线段AB上运动，OP=t．AQ=2t，
如图1，过Q作QH⊥OA于H，
则QH=QA•sin∠OAB=2t•
=
t，
即S=
PA•QH=
•（4-t）•
t
=-
（t-2）2+
，
∵a=-
＜0，
∴当t=2时，S有最大值是
；
②当
≤≤3时，点Q在线段BC上运动，
∴S=
•（4-t）•4=8-2t，
∵-2＜0，
∴S随t的增大而减小，
∴当t=
时，S有最大值是3，
综合上述，当t=2时，S有最大值是
；
（3）①如图2，当0≤t＜
时，点Q在线段AB上运动，
由题意得：P的坐标是（t，0），Q的坐标是（4-
t，
t），
PQ2=（4-
t-t）2+（
t）2=
t2-
t+16，
PQ的中点的横坐标是（t+4-
t）÷2=2-
，
若以PQ为直径的圆与y轴相切，则2-
=
PQ，
∴（2-
）2=
（
t2-
t+16），
解得：t=0（舍去），t=
，
∵
＜
，
∴t=
符合题意；
②当
≤t≤3时，即Q在线段BC上运动时，
由题意P（t，0），Q（6-2t，4），
PQ2=（6-2t-t）2+16=9t2-36t+52，
PQ的中点的横坐标是
，即3-
，
若以PQ为直径的圆与y轴相切，则3-
=
PQ，
∴（3-
）2=
（9t2-36t+52），
解得：t=1或t=2，均不符合题意，舍去．
综上所述，存在时刻t=
，使得以PQ为直径的圆与y轴相切．
点评：本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，切线的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．
（2）①当0≤t＜
时，点Q在线段AB上运动，OP=t．AQ=2t，过Q作QH⊥OA于H，求出QH=QA•sin∠OAB=t，求出S=-（t-2）2+，求出当t=2时，S有最大值是；②当≤≤3时，求出S=•（4-t）•4=8-2t，求出当t=时，S有最大值是3，即可得出答案；（3）①当0≤t＜
时，点Q在线段AB上运动，求出P的坐标、Q的坐标，求出PQ2=（4-t-t）2+（t）2，求出PQ的中点的横坐标是2-，得出方程2-=PQ，代入求出即可；②当
≤t≤3时，得出方程（3-）2=（9t2-36t+52），求出即可．解答：解：（1）
由题意得：0≤t≤3，过B作BD⊥OA于D，
则四边形OCBD是矩形，
∵A（4，0），B（1，4），
∴OA=OC=BD=4，BC=1，AD=4-1=3，
∴AB=
=5，若PB与AQ互相平分，则Q在BC上，四边形PABQ是平行四边形，
∴PA=QB，
即4-t=2t-5，
∴t=3；
（2）①当0≤t＜
时，点Q在线段AB上运动，OP=t．AQ=2t，如图1，过Q作QH⊥OA于H，
则QH=QA•sin∠OAB=2t•
=t，即S=
PA•QH=•（4-t）•t=-
（t-2）2+，∵a=-
＜0，∴当t=2时，S有最大值是
；②当
≤≤3时，点Q在线段BC上运动，∴S=
•（4-t）•4=8-2t，∵-2＜0，
∴S随t的增大而减小，
∴当t=
时，S有最大值是3，综合上述，当t=2时，S有最大值是
；（3）①如图2，当0≤t＜
时，点Q在线段AB上运动，由题意得：P的坐标是（t，0），Q的坐标是（4-
t，t），PQ2=（4-
t-t）2+（t）2=t2-t+16，PQ的中点的横坐标是（t+4-
t）÷2=2-，若以PQ为直径的圆与y轴相切，则2-
=PQ，∴（2-
）2=（t2-t+16），解得：t=0（舍去），t=
，∵
＜，∴t=
符合题意；②当
≤t≤3时，即Q在线段BC上运动时，由题意P（t，0），Q（6-2t，4），
PQ2=（6-2t-t）2+16=9t2-36t+52，
PQ的中点的横坐标是
，即3-，若以PQ为直径的圆与y轴相切，则3-
=PQ，∴（3-
）2=（9t2-36t+52），解得：t=1或t=2，均不符合题意，舍去．
综上所述，存在时刻t=
，使得以PQ为直径的圆与y轴相切．点评：本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，切线的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．
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23、在数学上，为了确定平面上点的位置，我们常用下面的方法：如图甲，在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，通常一条画成水平，叫x轴，另一条画成铅垂，叫y轴，这样，我们就说在平面上建立了一个平面直角坐标系，这是由法国数学家和哲学家笛卡尔创立的，这样我们就能确定平面上点的位置，例如，要确定点M的位置，只要作MP⊥x轴，MP⊥y轴，设垂足N，P在各自数轴上所表示的数分别为x，y，则x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，有序数对（x，y）叫做M点的坐标，如图甲，点M的坐标记作（2，3），（1）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图乙，请把△ABC向右平移3个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的△A′B′C′；
在平面直角坐标系中，将一块腰长为
为旋转中心时，点
绕着点
旋转180°得到
点，点
再绕着点
点，这时点
与点
为旋转中心时，点
点，点
点，点
点,小明发现P、
两点关于点
中心对称.
、
、
为旋转中心时，点
绕着点
旋转180°得到
点；点
旋转180°得到
点；点
旋转180°得到
点；点
旋转180°得到点
. 继续如此操作若干次得到点
，则点
的坐为．
，有序数对（x，y）叫做M点的坐标，如图甲，点M的坐标记作（2，3），