Question

如图所示，直角三角形ABC中．AB=4，BC=3，一个动点D从A出发到C，速度为1，另一个动点E从B出发到A，速度是0.8，请写出sin∠DEB与时间t的表达式，并求出sin∠DEB的取值范围．

Answer 1

分析：本题要求sin∠DEB与时间t的表达式，可以分为两种情况进行分析，当90°＜∠DEB≤180°或当0°≤∠DEB≤90°时
分别计算，在计算中作出辅助线，制造直角三角形，利用三角形相似和勾股定理把相应的线段用t的式子表示出来，最后根据正弦值的表示方法表示出sin∠DEB的表达式．

解答：解：（1）当90°＜∠DEB≤180°时
作DF⊥AB于F．
∴AD=t，BE=0.8t，△ADF∽△ACB
∴

AD

AC

=

DF

BC

=

AF

AB

∴可以求得DF=0.6t，AF=0.8t
∴EF=4-1.6t
在直角三角形DFE中，由勾股定理得：
DE=

(0.6t)2+(4-1.6t)2

∴DE=

73 25 t2- 64 5 t+16

∴sin∠DEB=

3 5 t

73 25 t2- 64 5 t+16

（0≤sin∠DEB＜1）

（2）当0°≤∠DEB≤90°时
作DG⊥AB于G．
∴AD=t，BE=0.8t，△ADF∽△ACB
∴

AD

AC

=

DG

BC

=

AG

AB

∴可以求得DG=0.6t，AG=0.8t
∴EG=1.6t-4
在直角三角形DFE中，由勾股定理得：
DG=

73 25 t2- 64 5 t+16

∴sin∠DEB=

3 5 t

73 25 t2- 64 5 t+16

（0≤sin∠DEB≤1）
综上所述，sin∠DEB与时间t的表达式：sin∠DEB=

3 5 t

73 25 t2- 64 5 t+16

（0≤sin∠DEB≤1）

点评：本题是一道解直角三角形的计算题，考查了解直角三角形的计算方法，相似三角形的判定及性质，勾股定理的运用．