题目内容
在梯形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AC，∠B = 450，AD = 2，BC = 6，以BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A在y轴上.
（1） 求过A、D、C三点的抛物线的解析式；
（2） 求△ADC的外接圆的圆心M的坐标，并求⊙M的半径；
（3） E为抛物线对称轴上一点，F为y轴上一点，求当ED＋EC＋FD＋FC最小时，EF的长；
（4） 设Q为射线CB上任意一点，点P为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点P、Q，使得以P、Q、C为顶点的三角形与△ADC相似？若存在，直接写出点P、Q的坐标，若不存在，则说明理由.
解：（1）由题意知C（3, 0）、A（0, 3）。
过D作x轴垂线，由矩形性质得D（2, 3）。
由抛物线的对称性可知抛物线与x轴另一交点为（－1，0）.
设抛物线的解析式为y=a（x＋1）（x－3）.
将（0， 3）代入得a = －1，所以y=－x2＋2x＋3.
（2）由外接圆知识知M为对称轴与AC中垂线的交点.由等
腰直角三角形性质得OM平分∠AOC,即yOM = x，
∴ M（1,1）.连MC得MC = 
，即半径为。
（3）由对称性可知：当ED＋EC＋FD＋FC最小时，E为对称轴与AC交点，
F为BD与y轴交点，易求F（0,
）、E（1,2） ∴EF = 
.
（4）可得△ADC中，AD = 2，AC = 
，DC = 
.
假设存在，显然∠QCP<900，∴∠QCP = 450或∠QCP = ∠ACD .
当∠QCP = 450时，这时直线CP的解析式为y = x－3 或y = －x＋3.
当直线CP的解析式为y = x－3时，可求得P（－2，－5）,
这时PC = 5
.
设CQ = x，则
，∴ x = 
或x = 15.
∴Q （－
,0）或（－12,0）.
当y = －x＋3即P与A重合时，可求得CQ = 2或9，∴ Q （1,0）或（－6,0）.
当∠QCP = ∠ACD时，设CP交y轴于H，连ED知ED⊥AC，
∴ DE = ，EC = 2，易证：△CDE∽△CHQ，
所以HQ/ = 3/ 2，∴ HQ = 3/2 .可求 HC的解析式为y = 1/2 x－3/2.
联解
，得P（－3/2，－9/4），PC = 
。
设CQ = x，知
，
∴ x = 15/4或x = 27/4 ，∴ Q（－3/4,0）或（－15/4,0）.
同理当H在y轴正半轴上时，HC的解析式为y = -1/2 x+3/2.
∴ P’（－1/2,7/4），∴PC = 
。
∴ 
，
∴ CQ = 35/12或21/4， 所以Q（1/12,0）或（－9/4,0）.
综上所述，P1（－2，－5）、Q1（－1/3,0）或（－12,0）；
P2（0,3）、 Q2（1，0） 或（－6,0）；
P3（－3/2，－9/4）、Q3（－3/4，0）或（－15/4,0）；
P4（－1/2,7/4）、Q4（1/12,0）或（－9/4,0）.
计算高手系列答案
10、如图，在梯形ABCD中，若AB∥CD，BD=AD，∠BCD=110°，∠CBD=30°，则∠ADC=
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是AB边上的点，给出下面三个论断：①AD=BC；②DE=CE；③AE=BE．请你以其中的两个论断为条件，填入“已知”栏中，以一个论断作为结论，填入“求证”栏中，使之成为一个正确的命题，并证明之．
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E．
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，BD=BC，∠A=100°，则∠BDC的度数为（ ）