Question

如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点．

（1）求证：△ABE∽△ECM；

（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；

（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；勾股定理。

解答：（1）证明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵△ABC≌△DEF，

∴∠AEF=∠B，

又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，

∴∠CEM=∠BAE，

∴△ABE∽△ECM；

（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，

∴∠AME＞∠AEF，

∴AE≠AM；

当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，

∴CE=AB=5，

∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，

当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，

∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，

即∠CAB=∠CEA，

又∵∠C=∠C，

∴△CAE∽△CBA，

∴，

∴CE=，

∴BE=6﹣=；

（3）解：设BE=x，

又∵△ABE∽△ECM，

∴，

即：，

∴CM=﹣+x=﹣（x﹣3）²+，

∴AM=﹣5﹣CM═（x﹣3）²+，

∴当x=3时，AM最短为，

又∵当BE=x=3=BC时，

∴点E为BC的中点，

∴AE⊥BC，

∴AE==4，

此时，EF⊥AC，

∴EM==，

S_△AEM=．