Question

如图，⊙O是Rt的外接圆，，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA = PB．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）已知，，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OB．

∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．

∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA．

∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA，

即∠PAO=∠PBO         

又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°，

∴∠PBO=90°，∴OB⊥PB ．        

又∵OB是⊙O半径，

∴PB是⊙O的切线．               

说明：还可连接OB、OP，利用△OAP≌△OBP来证明OB⊥PB．

（2）解：连接OP，交AB于点D．

∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．

∵OA=OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上．

∴OP垂直平分线段AB．                    

∴∠PAO=∠PDA =90°．

又∵∠APO=∠DPA，∴△APO∽△DPA．

∴，∴AP² = PO?DP．

又∵OD =BC =，∴PO（POOD）=AP²．

即：PO²PO=，解得  PO=2．                 

在Rt△APO中，，即⊙O的半径为1．   

说明：求半径时，还可证明△PAO∽△ABC或在Rt△OAP中利用勾股定理．