Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC、BC的长为方程x²-14x+a=0的两根，且AC-BC=2，D为AB的中点．
（1）求a的值．
（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒…若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．
①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围；
②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵AC、BC的长为方程x²-14x+a=0的两根，
∴AC+BC=14，
又∵AC-BC=2，
∴AC=8，BC=6，
∴a=8×6=48，
答：a的值是48．

（2）∵∠ACB=90°，
∴AB==10．
又∵D为AB的中点，
∴CD=AB=5，
∵sinB==，
过C作CE⊥AB于E，
根据三角形的面积公式得：AC•BC=AB•CE，
6×8=10CE，
解得：CE=，

过P作PK⊥BQ于K，
∵sinB=，
∴PK=PB•sinB，
∴S_△PBQ=BQ×PK=BQ•BPsinB，
（I）当0＜t≤1时，S=S_△ABC-S_△ACP-S_△PBQ=AC•BC-AP•CE-BQ•BPsinB，
=×8×6-×2t×-×3t×（10-2t）×，
=t²-t+24，
（II）同理可求：当1＜t≤2.5时，S=S_△ABC-S_△ACP-S_△PBQ=AC•BC-AP•CE-BQ•BPsinB，
=×8×6-×2t×-×3×（10-2t）×，
=-t+12；
（III）当2.5＜t≤3时，
S=CQ•PCsin∠BCD=×3×（10-2t）×=-t+12；
（IIII）当3＜t＜4时，
∵△PHC∽△BCA，
∴，
∴=，
∴PH=8-1.6t，
∴S=CQ•PH=CQ•PH=×（6-3t）×（8-1.6t）
=t²-t+48．
答：S与t之间的函数关系式是：
S=t²-t+24（0＜t≤1）
或S=-t+12（1＜t≤2.5），
或S=-t+12（2.5＜t≤3），
或S=t²-t+48．（3＜t＜4）．

②解：在整个运动过程中，只可能∠PQC=90°，
当P在AD上时，若∠PQC=90°，cosB==，
∴=，
∴t=2.5，
当P在DC上时，若∠PQC=90°，
sinA=sin∠CPQ，
=，
=，或=，
t=，或t=2.5，
∵1＜t＜4，
∴t=，t=2.5，符合题意，
∴当t=2.5秒或秒时，△PCQ为直角三角形．
答：存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形，符合条件的t的值是2.5秒，秒．
分析：（1）根据根与系数的关系求出AC+BC=14，求出AC和BC，即可求出答案；
（2）根据勾股定理求出AB，sinB，过C作CE⊥AB于E，关键三角形的面积公式求出CE，I当0＜t≤1时，S=S_△ABC-S_△ACP-S_△PBQ=AC•BC-AP•CE-BQ•BPsinB，求出即可；II同理可求：当1＜t≤2.5时，S=S_△ABC-S_△ACP-S_△PBQ=×8×6-×2t×-×3×（10-2t）×=-t+12；III当2.5＜t≤3时，S=-t+12，IIII当3＜t＜4时，S=CQ•CPsin∠BCD=CQ•CPsin∠B=×（6-3t）×（10-2t）×=t²-t+24；②在整个运动过程中，只可能∠PQC=90°，当P在AD上时，若∠PQC=90°，cosB==，代入即可求出t；当P在DC上时，若∠PQC=90°，sinA=sin∠CPQ，=，得到，
=或=，求出t，根据t的范围1＜t＜4，判断即可．
点评：本题主要考查对锐角三角函数的定义，根据实际问题列二次函数的解析式，勾股定理，三角形的面积，直角三角形的性质，解一元一次方程，根与系数的关系等知识点的理解和掌握，把实际问题转化成数学问题是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．