题目内容
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E。
（1）求证：点D是BC的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）如果⊙O的直径为9，cosB=
，求DE的长。
（1）求证：点D是BC的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）如果⊙O的直径为9，cosB=
，求DE的长。
解：（1）连接AD
∵AB为半圆O的直径，
∴AD⊥BC
∵AB=AC
∴点D是BC的中点；
（2）相切，
连接OD
∵BD=CD，OA=OB，
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴DE⊥OD
∴DE与⊙O相切；
（3）∵AB为半圆O的直径
∴∠ADB=90°
在Rt△ADB中
∵cosB=
∴BD=3
∵CD=3
在Rt△ADB中
∴cosC=
∴CE=1。
∵AB为半圆O的直径，
∴AD⊥BC
∵AB=AC
∴点D是BC的中点；
（2）相切，
连接OD
∵BD=CD，OA=OB，
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴DE⊥OD
∴DE与⊙O相切；
（3）∵AB为半圆O的直径
∴∠ADB=90°
在Rt△ADB中
∵cosB=
∴BD=3
∵CD=3
在Rt△ADB中
∴cosC=
∴CE=1。
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