Question

四边形ABCD的对角线AC、BD交于P，过点P作直线，交AD于E，交BC于F，若PE=PF，且AP+AE=CP+CF，证明：四边形ABCD为平行四边形．

Answer 1

证明：延长AC，在C上方取N，A下方取M，使AM=AE，CN=CF，则由已知可得PM=PN，易证△PME≌△PNF，且△AME，△CNF都是等腰三角形．
∴∠M=∠N，∠MEP=∠NFP
∴∠AEP=∠PFC
∴AD∥BC，
可证得△PAE≌△PCF，得PA=PC，
再证△PED≌△PFB．得PB=PD．
∴ABCD为平行四边形．
分析：熟记平行四边形的判定，其中对角线互相平分，是平行四边形，延长AC后，证明AD∥BC，然后再证明三角形全等，证得对角线互相平分，得到结论．
点评：本题考查平行四边形的判定定理，本题关键是正确作出辅助线．