题目内容

如图，已知⊙O的半径为1，AB、CD都是它的直径，∠AOD=60°，点P在劣弧 $数学公式$ 上运动变化．
（1）问∠APC的大小随点P的变化而变化？若不变化，说明理由，若变化，求出其变化范围；
（2）线段PA+PC的长度大小随点P的变化而变化？若不变化，说明理由，若变化，求出其变化范围．

解：（1）∠APC的大小不变化．理由如下：
∵∠APC= $\text{[math]}$ ∠AOC，
而∠AOC=180°-60°=120°，
∴∠APC= $\text{[math]}$ ×120°=60°，
∴∠APC不会随着点P的变化而变化；

（2）线段PA+PC的长度大小随点P的变化而变化．
连AC，AD，

∵∠AOD=60°，OA=OD
∴三角形AOD为等边三角形
又∵CD为直径，
∴∠DAC=90°，则∠ACD=30°，
且AO=1，因此AC= $\text{[math]}$ ，
在△APC中，由余弦定理得：AC²=AP²+PC²-2APPCcos60°，
即AP²+PC²-AP•PC=3，
∴（AP+PC）²=3+3AP•PC，
而 $\text{[math]}$ ，
又∵点P在 $\text{[math]}$ 上运动，则点P到AC的距离是变化的，底边AC为定值，
∴△APC的面积是变化的，从而AP•PC的值也是变化的，且随点P到AC的距离的增大而增大，
当点P为 $\text{[math]}$ 的中点时，点P到AC的距离的最大．
∵此时三角形APC为正三角形，
∴此时点P到AC的距离为 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴PA+PC的最大值为 $\text{[math]}$ ．
点P到AC的距离的最小值为1，
当点P与点D或点B重合，点P到AC的距离的最小，最小值为1，
此时PA+PC的值为3，
因此，PA+PC值的变化范围为3≤PA+PC $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由于∠APC= $\text{[math]}$ ∠AOC，而∠AOC=180°-60°=120°，所以∠APC= $\text{[math]}$ ×120°=60°．
（2）先根据三角形AOD为等边三角形，△DAC为直角三角形，得到AC= $\text{[math]}$ ，在△APC中，由余弦定理得：AC²=AP²+PC²-2APPCcos60°，变形为（AP+PC）²=3+3AP•PC，然后由 $\text{[math]}$ ，以及三角形APC的面积等于AC与P到AC的距离的一半得到AP•PC是变化的，当点P为 $\text{[math]}$ 的中点时，可分析出并求出PA+PC的最大值为 $\text{[math]}$ ；当点P与点D或点B重合，可分析出并求出PA+PC的最小值为3，由此得到PA+PC值的变化范围．
点评：本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了圆周角的推论：直径所对的圆周角为90度．考查了正余弦定理，以及含30度的直角三角形三边的关系．