Question

【题目】已知在中，，，点为射线上一点（与点不重合），过点作于点，且（点与点在射线同侧），连接，．

（1）如图1，当点在线段上时，请直接写出的度数．

（2）当点在线段的延长线上时，依题意在图2中补全图形并判断（1）中结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（3）在（1）的条件下，与相交于点，若，直接写出的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）补全图形，如图所示，见解析；结论成立．证明见解析；（3）的最大值为1．

【解析】

（1）先判断出，进而得出，即可判断出是等腰直角三角形；

（2）直接根据题意画出图形，同（1）的方法即可得出结论；

（3）先判断出PC最大，即可得出AP最小，利用点到直线的距离最小，得出时，AP最小，最后利用等腰直角三角形的性质即可得出结论.

（1）如图1，

连接，

∵在中，，

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

又∵，

∴．

∴．

∴．

∴是等腰直角三角形．

∴．

（2）补全图形，如图2所示，

结论成立．

证明：

如图，连接，

∵在中，，

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

又∵，

∴．

∴．

∴．

∴是等腰直角三角形．

∴．

（3）由（1）知，是等腰直角三角形，

∵，

∴，

当最小时，最大，

即：时，最小，

∵，

∴，

在中，，

∴．

即：的最大值为1．