Question

如图，在菱形ABCD中，AB=4a，E在BC上，BE=2a，∠BAD=120°，P点是对角线BD上一动点，则线段PE+PC和的最小值为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,菱形的性质

专题：

分析：根据菱形的性质，得知A、C关于BD对称，根据轴对称的性质，将PE+PC转化为AP+PE，再根据两点之间线段最短得知AE为PE+PC的最小值．

解答：解：∵四边形ABCD为菱形，
∴A、C关于BD对称，
∴连AE交BD于P，
则PE+PC=PE+AP=AE，
根据两点之间线段最短，AE的长即为PE+PC的最小值．
∵∠BAD=120°，
∴∠ABE=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
又∵BE=CE，
∴AE⊥BC，
∴AE=

(4a)2-(2a)2

=2

3

a．
故答案为：2

3

a．

点评：此题考查了轴对称---最短路径问题，解答过程要利用菱形的性质及等腰三角形的性质，转化为两点之间线段最短的问题来解．