Question

如图，梯形ABCD，AB∥CD，AB=2cm，梯形ABCD内部的⊙O分别切四边于E，F，M，N，且∠OAB=30°，∠OBA=45°．
（1）求出⊙O的半径OM的长度；
（2）求出梯形ABCD的周长．

Answer 1

解：（1）∵⊙O切AB于M，
∴OM⊥AB，
又∵∠OAB=30°，∠OBA=45°，
∴AM==OM，BM==OM，
∵AM+BM=AB，
∴OM+OM=2，
解得：OM==-1；

（2）过点D作DG⊥AB于点G，
∵⊙O分别切AB，AD于F，M，且∠OAB=30°，
∴∠DAB=60°，
又∵OM=-1，
∴DG=BC=2（），
∴AD==2（）•=，
∴AG=AD=，
∴梯形ABCD的周长为：C_梯形ABCD=2AB-AG+AD+BC=．
分析：（1）由⊙O切AB于M，根据切线的性质，可得OM⊥AB，又由∠OAB=30°，∠OBA=45°，由三角函数的性质，可得AM=OM，BM=OM，继而可得OM+OM=2，则可求得⊙O的半径OM的长度；
（2）首先过点D作DG⊥AB于点G，由⊙O分别切AB，AD于F，M，且∠OAB=30°，根据切线长定理，即可求得∠BAD的度数，求得DG与BC的长，继而求得AD与AG的长，则可求得答案．
点评：此题考查了切线的性质、切线长定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．