题目内容

如图所示，在直角坐标系xOy中，正方形ABCD的四个顶点坐标为A（0，6），B（2，4），C（4，6），D（2，8）．动点M在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D向终点D匀速运动，速度为每秒 $数学公式$ 个长度单位，同时动点N以每秒1个单位长度的速度从点P（1，0）出发沿x轴向终点Q（7，0）匀速运动，设两点运动的时间为t秒．
（1）求线段AB的解析式，并指出x的取值范围；
（2）求经过A、B、C三点的抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（3）当点M在边AB上运动时，△OMN的面积为S，试求出S关于t的函数关系式及t的取值范围，并指出当t为何值时，S有最大值．
（4）两动点M、N在运动过程中，OM与MN能否相等？若能，直接写出（不要解答过程）所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

解：
（1）设线段AB的解析式为y=kx+b（0≤x≤2），
由题意得 $\text{[math]}$
解之，得 $\text{[math]}$ ，
∴线段AB的解析式为y=x+6（0≤x≤2）
（2）由题意得 $\text{[math]}$ ，
解之得 $\text{[math]}$
∴所求解析式为y= $\text{[math]}$ x²-2x+6
（3）当M在边AB上时，0≤t≤2，AM= $\text{[math]}$ t，ON=1+t，分别过点B、M作y轴垂线，垂足分别为E、F，
如图所示
，则OE=4，BE=2，AD=OA-OE=6-4=2
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴△AFM也为等腰直角三角形，AF=FM=t，OF=OA-AF=6-t，

∴S= $\text{[math]}$ ON•OF= $\text{[math]}$ （1+t）（6-t）=- $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t+3
∴S关于t的函数关系式为S=- $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t+3（0≤t≤2），
当0≤t≤2时，S随着t的增大而增大；
所以当t=2时，S有最大值．
（4）能．当t=1或5时，OM与MN相等．
分析：（1）可用待定系数法求出直线AB的解析式，那么线段AB的解析式就是直线AB在（0≤x≤2）之间的函数解析式．
（2）已知了A、B、C的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）在三角形OMN中，ON=1+t，关键是求出ON边上的高，可过M作MF⊥y轴于F，由于△AFM和AEB都是等腰直角三角形，因此AF=FM=t，可求出OF=6-t，根据三角形的面积公式即可求出S，t的函数关系式．根据函数的性质即可求出S的最大值及对应的t的值．
（4）本题分四种情况进行讨论：
①当M在AB上运动时，②当M在BC上运动时，③M在CD上运动时，④M在AD上运动时．
以①③两种情况为例进行说明：

①当M在AB上时，易知△AFM为等腰直角三角形，因此MF=t，若OM=MN，那么必有MF= $\text{[math]}$ ON，即t= $\text{[math]}$ （1+t），t=1；
③当M在CD上时，如图，易知△CRM为等腰直角三角形，CM= $\text{[math]}$ t-4 $\text{[math]}$ ，因此CR=t-4，那么FM=CH-CR=8-t，由①知：FM= $\text{[math]}$ ON，即8-t= $\text{[math]}$ （1+t），解得t=5．
其他的两种情况解法与①③完全相同．
点评：本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、一次函数与二次函数解析式的确定以及二次函数的应用、等腰三角形的性质等知识点．综合性较强，要注意（4）要分类讨论不要漏解．