Question

（本题满分12分）如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A（0，4）、B（2，4），它的最高点纵坐标为，点P是第一象限抛物线上一点且PA=PO，过点P的直线分别交射线AB、x正半轴于C、D．设AC=m，OD=n．

【小题1】（1）求此抛物线的解析式；
【小题2】（2）求点P的坐标及n关于m的函数关系式；
【小题3】（3）连结OC交AP于点E，如果以A、C、E为顶点的三角形与△ODP相似，求m的值．

Answer 1

【小题1】(1)设函数解析式为…………………………………………1分
解出……………………………………………………………………3分
∴………………………………………………………4分
【小题2】（2）求出点P的坐标为（3，2）…………………………………………………6分
∴（0≤m≤6）………………………………………………………8分
【小题3】（3）方法一：①当△ACE∽△ODP时（如图1），∠ACO=∠ODP，∵∠ACO=∠COD
∴∠COD=∠ODP ∴AC=OD………………………………………………9分
∴m=(6?m) 解得：m=2…………………………………………………10分
②当△ACE∽△OPD时（如图2），∠ACO=∠OPD， ∵∠ACO=∠COD
∴∠COD=∠OPD，可得△OPD∽△COD，可得OD²=DP·DC，
即OD²=CD²……………………………………………………11分
（6?m）²=()²， 解得：m=…………12分
方法二：得出AE=…………………………………………10分
① 当△ACE∽△ODP时，可求出m=2……………………11分
② 当△ACE∽△OPD时，可求出m=………………12分

解析