Question

(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，－4)，OB＝2，抛物线y

＝ax²＋bx＋c经过点A、O、B三点．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM＋OM的最小值；

(3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

：解：（1）由OB＝2，可知B(2,0)

将A(－2，－4)，B(2,0)，O(0,0)三点坐标代入抛物线y＝ax²＋bx＋c，得

解得：

∴抛物线的函数表达式为。

（2）由，可得，抛物线的对称轴为直线，且对称轴是线段OB的垂直平分线，连结AB交直线于点M，即为所求。

∴MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB

作AC⊥x轴，垂足为C，则AC=4，BC=4，∴AB=

∴MO+MA的最小值为。

（3）①若OB∥AP，此时点A与点P关于直线对称，

由A(－2，－4),得P(4,－4),则得梯形OAPB。

②若OA∥BP，设直线OA的表达式为，由A(－2，－4)得，。

设直线BP的表达式为，由B(2,0)得，，即，

∴直线BP的表达式为           

由，解得，（不合题意，舍去）

当时，，∴点P()，则得梯形OAPB。

③若AB∥OP，设直线AB的表达式为，则

，解得，∴AB的表达式为。

∴直线OP的表达式为。

由，得 ，解得，（不合题意，舍去），此时点P不存在。

综上所述，存在两点P(4,－4)或P()使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形。

解析:略