Question

如右图，正方形ABCD中，有直径为BC的半圆，BC=2cm，现有E、F两点，分别从B点、A点同时出发，点E沿线段BA以1cm／秒的速度向点A运动，点F沿折线A―D―C以2cm／秒的速度向点C运动，设点E离开B点的时间为t（秒）。  

（1）当t为何值时，线段EF与BC平行？

（2）设l<t<2，当t为何值时，EF与半圆相切?

（3）当1≤t<2时，设EF与AC相交于P点，问E、F运动时，点P的位置是否发生变化?若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求AP∶PC的值。

Answer 1

解：（1）设E、F出发后经过t秒时，EF∥BC，

此时BE=t，CF=4－2t，BE=CF，即t=4－2t，∴t=

（2）设E、F出发后t秒时，EF与半圆相切，过F点作FK∥BC，交AB于K。

则BE=t，CF=4－2t，EK=EB－KB=EB－FC=t－(4－2t)=3t－4。

EF=BE+CF（切线长相等）=4－t在Rt△EKF中，EF²=EK²+KF²=(4－t)²=(3t－4)²+2²

解得：或（舍去）

（3）当l≤t<2时，P点位置不会发生变化

如图：由 

∴AB∥DC，∴△APE∽△CPE

，即点P的位置与t的数值无关。

点P的位置不会发生变化，AP∶PC的值为