Question

（2012•石景山区二模）已知：如图，M是⊙O的直径AB上任意一点，过点M作AB的垂线MP，D是MP的延长线上一点，连接AD交⊙O于点C，且PD=PC．
（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若tanD=

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，OA=3，过点A作PC的平行线AN交⊙O于点N．求弦AN的长．

Answer 1

分析：（1）利用等腰三角形的性质得出CO=AO，则∠A=∠OCA，由PD=PC得出∠D=∠PCD，即可得出∠OCA+∠PCD=90°进而得出答案即可；
（2）首先利用∠NAC=∠PCD=∠D，AN⊥OC，得出tan∠QAC=tanD=

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，进而利用勾股定理得出AN的长即可．

解答：（1）直线PC与⊙O相切，
证明：如图1，连接CO，
∵DM⊥AB
∴∠D+∠A=90°
∵PD=PC
∴∠D=∠PCD
∵OC=OA
∴∠A=∠OCA
∴∠OCA+∠PCD=90°
∴PC⊥OC
∴直线PC是⊙O的切线；
               
（2）解：如图2，过点A作PC的平行线AN交⊙O于点N，交CO于点Q．
故∠NAC=∠PCD=∠D，AN⊥OC，垂足是Q，
在Rt△CQA中，
则tan∠QAC=tanD=

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，
设CQ=x，AQ=

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x，
故OQ=3-x，
∵OA²=OQ²+AQ²，
∴32=(

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x)2+(3-x)2，
解得x=2，
∴AQ=2

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，
∴AN=2AQ=4

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．

点评：此题主要考查了切线的判定及性质和勾股定理的应用、锐角三角函数关系等知识，根据已知得出tan∠QAC=tanD=

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是解题关键．