Question

如图，已知在矩形ABCD中，AD=10，CD=5，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，当B、E、F三点共线时，两点同时停止运动，此时BF⊥CE．设点E移动的时间为t（秒）．
（1）求当t为何值时，两点同时停止运动；
（2）求当t为何值时，EC是∠BED的平分线；
（3）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（4）求当t为何值时，△EFC是等腰三角形．（直接写出答案）

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）B，E，F三点共线时，满足△FED∽△FBC，结合行程问题可以得出关于t的比例式，求出t的值；
（2）∠BEC=∠BFC．可以转化为∠BEC=∠BCE．即BE=BC．得出关于t的方程，求出值；
（3）求S与t之间的函数关系式，可以将四边形BCFE的面积分成S_△BCE，S_△ECF两部分，结合（1）确定t的取值范围；
（4）根据等腰三角形的性质，分EF=EC，EC=FC，EF=FC三种情况讨论．

解答：解：（1）当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动，如图所示．
由题意可知：ED=t，BC=10，FD=2t-5，FC=2t．
∵ED∥BC，
∴△FED∽△FBC．
∴

FD

FC

=

ED

BC

．
∴

2t-5

2t

=

t

10

．
解得t=5．
∴当t=5时，两点同时停止运动；

（2）在Rt△BCF和Rt△CDE中，
∵∠BCF=∠CDE=90°，

BC

CD

=

CF

ED

=2，
∴Rt△BCF∽Rt△CDE．
∴∠BFC=∠CED．                              
∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠CED．若∠BEC=∠BFC，则∠BEC=∠BCE．即BE=BC．
∵5²+（10-t）²=10²，
解得 t₁=10+5

3

（舍去），t₂=10-5

3

．
即当t=10-5

3

时，EC是∠BED的平分线．         

（3）分两种情况讨论：①当F在线段CD上时：S_{四边形BCFE}=S_梯形BCDE-S_△EDF=

1

2

（t+10）×5-

1

2

t（5-2t）=t²+25；
②当F在CD延长线上时：
S_{四边形BCFE}=S_梯形BCDE+S_△EDF=

1

2

（t+10）×5-

1

2

t（2t-5）=t²+25；
∴S=t²+25（0≤t≤5）；

（4）△EFC是等腰三角形有三种情况：
①若EF=EC时，则点F只能在CD的延长线上，
∵EF²=（2t-5）²+t²=5t²-20t+25，
EC²=5²+t²=t²+25，
∴5t²-20t+25=t²+25．
∴t=5或t=0（舍去）；
②若EC=FC时，
∵EC²=5²+t²=t²+25，FC²=4t²，
∴t²+25=4t²．
∴t=

5 3

3

；
③若EF=FC时，
∵EF²=（2t-5）²+t²=5t²-20t+25，FC²=4t²，
∴5t²-20t+25=4t²．
∴t₁=10+5

3

（舍去），t₂=10-5

3

．
∴当t的值为5，

5 3

3

或10-5

3

时，△EFC是等腰三角形．

点评：本题考查了四边形综合题．其中涉及到了勾股定理，相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．该题数形结合，综合性较强，将行程问题与矩形有机的整合，有一定的思维容量．