Question

如图所示，某学校要建一个中间有两道篱笆隔断的长方形花圃，花圃的一边靠墙（墙的最大可利用长度为10m），现有篱笆长24m．设花圃的宽AB为xm，面积为Sm²．
（1）求S与x之间的函数关系式；
（2）如果要围成面积为32m²的花圃，AB的长是多少米？
（3）能围成面积比32m²更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并给出设计方案；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出S=AB×BC代入即可；
（2）求出方程-4x²+24x=32的解即可；
（3）把解析式化成顶点式，求出顶点的坐标即可得到答案．

解答：（1）解：BC=24-4x，
∴S=x（24-4x）=-4x²+24x，
答：S与x之间的函数关系式是S=-4x²+24x．

（2）解：当S=32时，-4x²+24x=32，
解得x₁=2，x₂=4，
∵墙的最大可利用长度为10m，
∴0＜24-4x≤10，

7

2

≤x＜6，
∴x₁=2舍去，x=4，
即花圃的宽AB为4m，
答：如果要围成面积为32m²的花圃，AB的长是4米．

（3）解：∵S=-4x²+24x=-4（x-3）²+36，
∴当x＞3时，S随x的增大而减小，
∵

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2

≤x＜6，
∴当x=

7

2

时，S最大=-4(

7

2

-3)2+36=35＞32
∴能围成面积比32m²更大的花圃，最大面积为35m²，
方案：∵24-4×

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2

=10，∴花圃的长为10米，宽为3.5米，
答：能围成面积比32m²更大的花圃，最大面积是35m²，方案是花圃的长为10米，宽为3.5米．

点评：本题主要考查对二次函数的最值，二次函数的解析式，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能把实际问题转化成数学问题是解此题的关键．