Question

在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线．

（1）求直线及抛物线的函数表达式；

（2）如果P是线段上一点，设、的面积分别为、，且，求点P的坐标；

（3）设的半径为l，圆心在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为，圆心在抛物线上运动，则当取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？

 

Answer 1

（1）解：（1）∵沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，

           ∴，。

           将 代入，得。解得。

           ∴直线AC的函数表达式为。

         ∵抛物线的对称轴是直线

∴解得

∴抛物线的函数表达式为。

（2）如图，过点B作BD⊥AC于点D。

  ∵，

∴

∴。

过点P作PE⊥x轴于点E，

∵PE∥CO，∴△APE∽△ACO，

∴，

∴

∴，解得

∴点P的坐标为

（3）（Ⅰ）假设⊙Q在运动过程中，存在与坐标轴相切的情况。

         设点Q的坐标为。

①     当⊙Q与y轴相切时，有，即。

当时，得，∴

当时，得，∴

②     当⊙Q与x轴相切时，有，即

当时，得，即，解得，∴

当时，得，即，解得，∴，。

综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为，，，，。

（Ⅱ）设点Q的坐标为。

当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有。

由，得，即，

∵△=

∴此方程无解。

由，得，即，

解得

∴当⊙Q的半径时，⊙Q与两坐标轴同时相切。