Question

在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．

(1)当AB＝AC时，(如图1)，

①∠EBF＝________°；

②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；

(2)当AB＝kAC时(如图2)，求的值(用含k的式子表示)．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)①根据题意可判断△ABC为等腰直角三角形，据此即可推断∠C＝45°，进而可知∠EDB＝22.5°．然后求出∠EBF的度数． 　　②根据题意证明△BEF∽△DEB，然后利用相似三角形的性质，得到BE与FD的数量关系． 　　(2)作∠ACB的平分线，得到∠C的正切值，然后证明△BEF∽△DEB，利用三角形相似的性质得到BE与FD的数量关系． 　　解答：解：(1)①∵AB＝AC∠A＝90° 　　∴∠ABC＝∠C＝45° 　　∵∠EDB＝∠C 　　∴∠EDB＝22.5° 　　∵BE⊥DE 　　∴∠EBD＝67.5° 　　∴∠EBF＝67.5°－45°＝22.5° 　　②在△BEF和△DEB中 　　∵∠E＝∠E＝90° 　　∠EBF＝∠EDB＝22.5° 　　∴△BEF∽△DEB 　　如图： 　　BG平分∠ABC， 　　∴BG＝GD△BEG是等腰直角三角形 　　设EF＝x，BE＝y， 　　则：BG＝GD＝y 　　FD＝y＋y－x 　　∵△BEF∽△DEB 　　∴＝ 　　即：＝ 　　得：x＝(－1)y 　　∴FD＝y＋y－(－1)y＝2y 　　∴FD＝2BE． 　　(2)如图： 　　作∠ACB的平分线CG，交AB于点G， 　　∵AB＝kAC 　　∴设AC＝b，AB＝kb，BC＝b 　　利用角平分线的性质有： 　　＝ 　　即：＝ 　　得：AG＝ 　　∵∠EDB＝∠ACB 　　∴tan∠EDB＝tan∠ACG＝ 　　∵∠EDB＝∠ACB 　　∠ABC＝90°－∠ACB 　　∴∠EBF＝90°－∠ABC－∠EDB＝∠ACB 　　∴△BEF∽△DEB 　　∴EF＝BE 　　ED＝BE＝EF＋FD 　　∴FD＝BE－BE＝BE． 　　∴＝． 　　点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，(1)利用等腰直角三角形的性质进行判定和计算．(2)结合图形利用三角函数和相似三角形进行计算求出线段间的关系．

提示：

考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形．