Question

如图，在等腰△ABC中，AD⊥BC，EF∥AC交AD于G，S_△AEG=2S_△DFG=4，若EF∥HD∥MN∥PQ，AD∥EN∥HQ∥MO，且图中三个阴影四边形的面积分别记为S₁，S₂，S₃，则S₂的值为

 

．

Answer 1

分析：首先过点E作EK⊥AD于K，过点H作HL⊥EN于L，由在等腰△ABC中，AD⊥BC，EF∥AC，根据等腰三角形的性质，可证得△AEG是等腰三角形，又由S_△AEG=2S_△DFG=4，易得△EKG≌△FDG，继而求得S₁的值，同理可求得S₂的值．

解答：解：过点E作EK⊥AD于K，过点H作HL⊥EN于L，
∵在等腰△ABC中，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF∥AC，
∴∠EGA=∠CAD，
∴∠EAG=∠EGA，
∴AE=EG，
∴AK=GK，
∴S_△AEG=2S_△EKG，
∵S_△AEG=2S_△DFG=4，
∴S_△EKG=S_△DFG=2，
∵△EKG∽△FDG，
∴△EKG≌△FDG，
∴EK=DF，
∴S₁=DN•DG=EK•DG=DF•DG=2S_△DFG=4，
∴S_△RND=

1

2

S₁=2，
∵△AEG∽△AHD，AG：AD=2：3，
∴S_△AHD：S_△AEG=9：4，
∴S_△AHD=9，
∴S_△EHR=1，
∴S_△HLR=

1

2

，
∵EF∥HD∥MN∥PQ，AD∥EN∥HQ∥MO，
同理可得：△EHR是等腰三角形，△HLR∽△DNR，
∴S_△HLR：S_△RND=1：4，
∴HL=

1

2

ND，
S₂=HL•NR=

1

2

ND•DG=S_△NDR=2．
故答案为：2．

点评：此题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的面积的求解方法等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意相似三角形的面积的比等于相似比的平方定理的应用．