Question

已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，且PA⊥AB于点A，PO⊥AC于点M
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）当OM=

2

，cosB=

2

4

时，求PC的长．

Answer 1

分析：（1）由题干条件先证明△PAM≌△PMC得到∠PAM=∠PCM，又知OA=OC，得到∠OAC=∠OCA，
（2）首先求出半径，然后根据三角形相似解得PC．

解答：证明：（1）连接OC，
∵AB为⊙O直径，且PA⊥AB于点A，PO⊥AC于点M，
∴AM=MC，∵PM=PM，∠PMA=∠PMC，
∴△PAM≌△PMC，
∴∠PAM=∠PCM，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAP=∠OCP=90°，
∴PC是⊙O的切线；

（2）在Rt△ACB中，
当OM=

2

，cosB=

2

4

，
∴BC=2

2

，AB=8，AC=2

14

，
∵Rt△PMC∽Rt△ACB，
∴

MC

BC

=

PC

AB

，
解得PC=4

7

．

点评：本题考查了切线的判定，解直角三角形等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．