Question

20．已知点P在等边△ABC内，接PA，PB，PC．
（1）如图1，当P是等边△ABC的重心时，则以线段PA，PB，PC为三边的三角形的形状是等边三角形；
（2）如图2，如果P是等边△ABC内任意一点，那么以线段PA，PB，PC为边一定能够构成一个三角形吗？请证明你的结论；
（3）如图3，若PA=PB=4，∠APC=105°，求线段PC的长．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形三线合一的性质得：P也是△ABC的外心和内心，则PA=PB=PC，以线段PA，PB，PC为三边的三角形的形状是等边三角形；
（2）将△APB绕A逆时针旋转60°得到△AMC，连接PM，证明△PCM的三边分别等于PA、PB、PC，由此可以得结论；
（3）如图3，同理作辅助线，得PM=AP=4，MC=PB=4，并证明△PMC是等腰直角三角形，利用勾股定理求PC的长．

解答 解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，且P是重心，
∴P也是△ABC的外心和内心，
∴PA=PB=PC，
∴以线段PA，PB，PC为三边的三角形的形状是等边三角形；
故答案为：等边三角形；
（2）以线段PA，PB，PC为边能够构成一个三角形，理由是：
如图2，∵△ABC是等边三角形，
∴将△APB绕A逆时针旋转60°得到△AMC，连接PM，
由旋转得：△APB≌△AMC，∠PAM=60°，
∴AP=AM，PB=CM，
∴△APM也是等边三角形，
∴PM=PA，
∴△PCM的三边分别为PA、PB、PC，
∴以线段PA，PB，PC为边能够构成一个三角形；
（3）如图3，∵△ABC是等边三角形，
∴将△APB绕A逆时针旋转60°得到△AMC，连接PM，
同理得：PM=AP=4，MC=PB=4，
∵△APM是等边三角形，
∴∠APM=60°，
∵∠APC=105°，
∴∠CPM=45°，
∵PM=CM=4，
∴∠CPM=∠PCM=45°，
∴∠PMC=90°，
由勾股定理得：PC=$\sqrt{P{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

点评 本题是三角形的综合题，考查了图形的旋转变换问题、全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质，本题要利用图形旋转作辅助线，构建两个全等三角形是关键；这种辅助线的作法不经常用，要注意运用并掌握．